Los puentes de Konigsberg

Seguro que cuando eras pequeñ, en la escuela, alguna vez algun amigo tuyo te habrá pedido que resuelvas el problema de la casita. El problema es sencillo, tienes que pasar por todas las esquinas sin repetir ninguna y cubriendo todas las líneas. Yo cuando lo intenté, apenas tendría 8 años, me lanzé a resolver el problema de forma precipitada y sin ninguna estrategia de base para atacarlo. Creo que no hace falta decir que fallé unas cuantas veces antes de resolverlo (y no! mi estrategia de base no era la de «ensayo-error» ;P).

Pues puede  que no lo supieras (o puede que sí), pero un problema similar al de la casita tuvo un gran impacto en las matemáticas actuales. Incluso Euler dedicó una gran parte de su tiempo y sus investigaciones a explicar el fenómeno. Se trata de los Puentes de Konigsberg.

Segúramente ahora te estés preguntando : ¿Los puentes de Konigsqué? Pues sí, de Konigsberg. Konigsberg era una ciudad de Prusia que cruzaban el río Pregel. El problema era similar al de la casita: ¿Puede una sola ruta atravesar todos los puentes de una sola vez?

Si esto se lo planteásemos a nuestros alumnos de primaria, segúramente se lanzarían sin pensar a por el problema aunque (salvo casos de niños empeñados en resolver algo imposible, yo creo que era uno de esos) a los pocos minutos lo darían por imposible.

Para demostrar el teorema, Euler llamó a cada isla con una letra mayúscula y a cada puente con una letra minúscula:

 

En primer lugar, si para ir de A a B hubiese dos puentes, no importa el puente que se coja, el resultado será el mismo. Además teniendo en cuenta que para ir de A a B se cruza un sólo puente (secuencia AB) y se necesitan dos letras, para ir de A a B y luego a C (ABC) se necesitan dos puentes y tres letras, etc. Se comprende que se necesita una secuencia de ( letras para cruzar los siete puentes (7+1=8).

Además tenemos que sea la isla que sea, se dará una situación similar a esta:

En esta situación al atravesar «a» o bien llegamos o bien salimos de A, al atravesar los puentes «a», «b» y «c» pasamos dos veces por A y así sucesivamente, es decir, el número de veces que pasamos por A (N) al atravesar todos los puentes será el número de puentes (n) más 1 y dividido por dos: N=(n + 1)/2

De esta forma tenemos que en nuestro problema, como a A le llegan 5 puentes habrá que pasar 3 veces por él, y como B, C y D  tienen 3 puentes habrá que pasar dos veces por cada uno de ellos, por tanto, 3 veces por A  más 2 veces por B más 2 veces por C más 2 veces por D, son 9 letras, y como ya habíamos dicho antes se deberían necesitar sólo 8, por tanto ahí hay una contradicción. A+A+A+B+B+C+C+D+D=9

Esta contradicción demuestra que no se puede resolver el problema. Claro, ahora os preguntaréis: ¿Y esto de qué nos sirve con nuestros chicos de primaria? Pues básicamente sirve para hacerles ver que antes de ponerse a resolver un problema «a lo loco», lo que deben hacer es pensar sobre las diferentes formas de atacarlo y razonar si tiene o no solución. Más adelante hablaré sobre las estrategias heurísticas para la resolución de problemas para que nuestros alumnos, dependiendo del problema, se planteen, utilizen y combinen estrategias sobre distintas maneras de atacar el problema.

Bueno, he de decir también, que finalmente, y aunque no os lo creáis, conseguí dar con la solución al problema. Puede que no sea una solución muy viable pero es una solución ;). El único inconveniente que tendríamos es que nos mojaríamos un poco (¡sólo un poco!) pero bueno, con una bañador, una toalla y unas chancletas, seremos históricamente reconocidos por haber conseguido resolver el gran enigma de los Puentes de Konigsberg!